数学上的动点与最值问题

　　                                                                              吴丽芳

　　在期中考试复习的时间里，复习卷中出现了一个动点与最值问题的题目，这类题是在平面几何问题中,当某点在给定条件运动时,求某几何量的最大值或最小值的问题,即最值问题.这类题综合性强,能力要求高.它能全面的考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力,对培养学生的思维品质和各种能力有更大的促进作用，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨。

　　一、利用“两点之间线段最短”(或三角形两边之和大于第三边)

　　C

　　B

　　Q

　　D

　　A

　　L

　　1.知L为一条公路，A、B为公路两旁的两个村庄，现在公路上建一家商店，问建在何处时商店到两村庄到商店距离和最小?

分析：作B关于L的对称点B’，

　　有MB=MB，于是MA+MB=MA+MB’≥AB

　　(当且仅当从运动到AB’和L的交点M’

　　时等号成立)，建在M’点符合条件。

　　2.如图，正方形ABCD边长为16，P、Q分别是BC、CD上的定点，且BP=3 ,DQ=1,E为对角线AC上一动点，求EP+EQ最小值。

　　分析：该题与1相同，L在该题中为AC,两村庄为P和Q，这

　　这样就可归结为第一题来做了。

　　P

　　二.利用“垂线段最短”

　　例如：

　　如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N，

　　求MN的最小值

　　分析：由题意得。PNCM为矩形，因为矩形的对角线相等，故要求MN的最小值，只需求PC的最小值，这样就涉及到“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的问题了。

　　三.建立动点问题的函数解析式

　　函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.

　　如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为(　　)

A.

         B

.

         C

.

        D

.

　　分析：动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论.

　　不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：

　　(1)当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π(1-t)2(0≤t<1);

　　(2)当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π(t-1)2(1≤t≤2).

　　综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π(t-1)2(0≤t≤2)，

　　这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线.结合题中各选项，只有B符合要求.

　　故选B.

　　本题结合动点问题考查了二次函数的图象.解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择.